MATRICES

__//**MATRICES**//__

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. >>  //Se llama// **matriz** //de orden "m// × //n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina __dimensión__ o __tamaño__, siendo m y n números naturales.// Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila //i// y la columna //j// se escribe //aij//. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (//aij//) >>  **SUMA DE MATRICES**  La suma de dos matrices A = (aij)//m//×//n// y B = (bij)//p//×//q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz// C = A+B = (cij)//m//×//n =// (aij+bij)
 *  **CONCEPTO DE MATRIZ**
 *  **OPERACIONES CON MATRICES**

 **PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ**  Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

 **PRODUCTO DE MATRICES**  Dadas dos matrices A = (aij)//m//×//n// y B = (bij)//p//×//q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz// A //es igual al número de filas de la matriz// B //, se define el producto// A·B //de la siguiente forma ://

El elemento aque ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.

 **MATRIZ INVERSA** >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A-1, a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A-1·A = A·A-1 = I >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Decimos que una matriz cuadrada es //"regular"// si su determinante es distinto de cero, y es //"singular"// si su determinante es igual a cero. >>>> >>>> ==<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Definiciones y notaciones == >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Una **matriz** es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados **elementos** o **entradas** de la matriz) ordenados en **filas** y **columnas**, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con //m// filas y //n// columnas se le denomina matriz //m//-por-//n// (escrito //m//×//n//), y a //m// y //n// **dimensiones** de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz //m//-por-//n// tiene un **orden** de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila //i//-ésima y la columna //j//-ésima se le llama elemento //i,j// o elemento (//i//,//j//)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz //A// que se encuentra en la fila //i//-ésima y la columna //j//-ésima se le denota como //a//i,j o //a//[//i,j//]. Notaciones alternativas son **A**[//i,j//] o **A**//i,j//. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así **A** es una matriz, mientras que //A// es un escalar. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Normalmente se escribe para definir una matriz //A// //m// × //n// con cada entrada en la matriz //A//[//i,j//] llamada //a////ij// para todo 1 ≤ //i// ≤ //m// y 1 ≤ //j// ≤ //n//. Sin embargo, la convención del inicio de los índices //i// y //j// en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ //i// ≤ //m// − 1 y 0 ≤ //j// ≤ //n// − 1. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo //vector//, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × //n// (una fila y //n// columnas) se denomina vector fila, y una matriz //m// × 1 (una columna y //m// filas) se denomina vector columna. >>>> >>>> ==<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Ejemplo == >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Dada la matriz: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/d/2/5/d25cb26b9c61b65bd7537601318a61a1.png caption=" >>>> A = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1 & 2 & 3 \\ >>>> 1 & 2 & 7 \\ >>>> 4 & 9 & 2 \\ >>>> 6 & 0 & 5 >>>> \end{bmatrix} >>>> "]] <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">que es una matriz 4x3. El elemento o  es el 7. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La matriz >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/3/d/7/3d7521eb3f0c2f402eaf37c5aed862d4.png caption=" >>>> R = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 >>>> \end{bmatrix} >>>> "]] <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos. >>>> >>>> ==<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Operaciones básicas == >>>> ===<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Suma o adición === >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Dadas las matrices //m//-por-//n// ,//A// y //B//, su **suma** //A + B// es la matriz //m//-por-//n// calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (//A + B//)[//i, j//] = //A//[//i, j//] + //B//[//i, j//] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/f/f/9ff25ac213c215770503361357632233.png caption=" >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1 & 3 & 2 \\ >>>> 1 & 0 & 0 \\ >>>> 1 & 2 & 2 >>>> \end{bmatrix} >>>> + >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1 & 0 & 5 \\ >>>> 7 & 5 & 0 \\ >>>> 2 & 1 & 1 >>>> \end{bmatrix} >>>> = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ >>>> 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ >>>> 1+2 & 2+1 & 2+1 >>>> \end{bmatrix} >>>> = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 2 & 3 & 7 \\ >>>> 8 & 5 & 0 \\ >>>> 3 & 3 & 3 >>>> \end{bmatrix} >>>> "]] >>>> ====<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Propiedades ==== >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Dadas las matrices //m//×//n// //A//, //B// y //C// >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">(A + B) + C = A + (B + C) >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Dadas las matrices //m//×//n// //A// y //B// >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">A + B = B + A >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">A + 0 = 0 + A = A >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">con gr-A = [-aij] >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">A + (-A) = 0 >>>> ===<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Producto por un escalar === >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Dada una matriz //A// y un escalar //c//, su **producto** //cA// se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de //A// (i.e. (//cA//)[//i//, //j//] = //cA//[//i//, //j//] ). >>>> >>>> ====<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Ejemplo ==== >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/5/a/7/5a7c202d07e654fcfdbe40210db4316a.png caption=" >>>> 2 >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1 & 8 & -3 \\ >>>> 4 & -2 & 6 >>>> \end{bmatrix} >>>> = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 2\times 1 &  2\times 8 & 2\times -3 \\ >>>> 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 6 >>>> \end{bmatrix} >>>> = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 2 & 16 & -6 \\ >>>> 8 & -4 & 12 >>>> \end{bmatrix} >>>> "]] >>>> ====<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Propiedades ==== >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Sean //A// y //B// matrices y //c// y //d// escalares. >>>> >>>> ===<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Producto === <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices **A** y **B** dando como resultado la matriz **AB**. <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//Artículo principal: Producto de matrices// <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El **producto** de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si //A// es una matriz //m//×//n// y //B// es una matriz //n×p//, entonces su **producto matricial** //AB// es la matriz //m×p// (//m// filas, //p// columnas) dada por: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">para cada par //i// y //j//. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Por ejemplo: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/0/7/e072560f558bc14c45270fbb09b891c1.png caption=" >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1 & 0 & 2 \\ >>>> -1 & 3 & 1 \\ >>>> \end{bmatrix} >>>> \times >>>> \begin{bmatrix} >>>> 3 & 1 \\ >>>> 2 & 1 \\ >>>> 1 & 0 >>>> \end{bmatrix} >>>> = >>>> \begin{bmatrix} >>>> (1 \times 3 +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\ >>>> (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\ >>>> \end{bmatrix} >>>> = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 5 & 1 \\ >>>> 4 & 2 \\ >>>> \end{bmatrix} >>>> "]] >>>> ====<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Propiedades ==== >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, **AB ≠ BA**. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente **A / B**, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles. >>>> >>>> ===<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Aplicaciones lineales === >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales (también conocidas como "transformaciones lineales") entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si **ℝ**//n// es el espacio euclídeo //n//-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices //n//-por-1), para cada aplicación lineal //f// : **ℝ**//n// → **ℝ**//m// existe una única matriz **A** //m// por //n// de tal forma que >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">para cada vector **x** de **ℝ**//n//. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Se dice que la matriz **A** "representa" la aplicación lineal //f//, o que **A** es la **matriz coordenada** de //f//. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz //k// por //m// **B** representa otra aplicación lineal //g// : **ℝ**//m// → **ℝ**//k//, entonces la composición //g// o //f// se representa por **BA**: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Más en general, una aplicación lineal de un espacio vectorial //n//-dimensional en otro espacio vectorial //m//-dimensional (no necesariamente **ℝ**//n//) se representa por una matriz //m// por //n//, a condición de que se haya elegido una base para cada uno de ellos. >>>> >>>> ===<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Rango === <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//Artículo principal: Rango de una matriz// <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El rango de una matriz **A** es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por **A**, que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de **A**. También puede ser definido sin referencia al álgebra lineal de la siguiente manera: el rango de una matriz //m// por //n// **A** es el más pequeño número //k// de tal manera que **A** puede escribirse como un producto **BC** donde **B** es una matriz //m// por //k// y **C** es una matriz //k// por //n// (aunque ésta no es una manera práctica de calcular el rango). >>>> >>>> ===<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Traspuesta === <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//Artículo principal: Matriz traspuesta// <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La traspuesta de una matriz //m//-por-//n// **A** es la matriz //n//-por-//m// **A**//T// (algunas veces denotada por **A**t) formada al intercambiar las filas y columnas, i.e. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/3/b/e/3be8b4e18ed8c46c79527580957e12f1.png caption=" \begin{align} >>>> & (\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}, \\ >>>> & (\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T, \\ >>>> & (\mathbf{A} \mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T, \\ >>>> \end{align} "]] <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Si **A** describe una aplicación lineal respecto a dos bases, entonces la matriz **A**//T// describe la traspuesta de una aplicación lineal respecto a las bases del espacio dual. >>>> >>>> ==<span class="mw-headline" style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Matrices cuadradas y definiciones relacionadas == >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Una **matriz cuadrada** es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas //n//-por-//n// junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">M(//n//,**R**), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(//n//,**C**), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La **matriz identidad I**//n// de orden //n// es la matriz //n// por //n// en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones **MI**//n// = **M** y **I**//n//**N** = **N** para cualquier matriz **M** //m// por //n// y **N** //n// por //k//. Por ejemplo, si //n// = 3: >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/6/e/6/6e6e8e3765f6d3ea8323c7128c3b9842.png caption=" >>>> >>>> \mathbf{I}_3 = >>>> \begin{bmatrix} >>>> 1 & 0 & 0 \\ >>>> 0 & 1 & 0 \\ >>>> 0 & 0 & 1 >>>> \end{bmatrix} >>>> ."]] <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Los elementos invertibles de este anillo se llaman **matrices invertibles** o **matrices no singulares**. Una matriz **A** //n// por //n// es invertible si y sólo si existe una matriz **B** tal que >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**AB** = **I**//n// = **BA**. <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">En este caso, **B** es la **matriz inversa** de **A**, identificada por **A**-1. El conjunto de todas las matrices invertibles //n// por //n// forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Si λ es un número y **v** es un vector no nulo tal que **Av** = λ**v**, entonces se dice que **v** es un vector propio de **A** y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de **A** si y sólo si **A**−λ**I**//n// no es invertible, lo que sucede si y sólo si //p//**A**(λ) = 0, donde //p//**A**(//x//) es el polinomio característico de **A**. //p//**A**(//x//) es un polinomio de grado //n// y por lo tanto, tiene //n// raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho //n// valores propios complejos. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El determinante de una matriz cuadrada **A** es el producto de sus //n// valores propios, pero también puede ser definida por la //fórmula de Leibniz//. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus //n// valores propios. >>>> <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Asociativa
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Conmutativa
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Existencia de matriz cero o matriz nula
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Existencia de matriz opuesta
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**Clausura:** Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**Asociatividad:** (cd)A = c(dA)
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**Elemento Neutro:** 1·A = A
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**Distributividad:**
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**De escalar:** c(A+B) = cA+cB
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**De matriz:** (c+d)A = cA+dA
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//Propiedad asociativa//: (**AB**)**C** = **A**(**BC**).
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//Propiedad distributiva por la derecha//: (**A** + **B**)**C** = **AC** + **BC**.
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//Propiedad distributiva por la izquierda//: **C**(**A** + **B**) = **CA** + **CB**.
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//En general, el producto de matrices tiene divisores de cero//: **Si A.B = 0**, //No necesariamente// **A** //ó// **B** //son matrices nulas//
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">//El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación//: **Si A.B = A.C**, //No necesariamente// **B=C**