Funciones+Trigonometricas

__//FUNCIONES TRIGONOMETRICAS //__

==Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un [|triángulo rectángulo] asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una [|circunferencia unitaria] (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. == ==Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el [|verseno] (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1). == == [[|editar]] Definiciones respecto de un triángulo rectángulo == == == ==Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice //A//, se parte de un [|triángulo rectángulo] arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será: == ==Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π [|radianes] (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: == ==1) El **seno** de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: == > == == ==El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. == ==2) El **coseno** de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: == > == == ==3) La **tangente** de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: == > == == ==4) La **cotangente** de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: == > == == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">5) La **secante** de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">6) La **cosecante** de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> [[|editar]] Funciones trigonométricas de ángulos notables == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> <span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Animación de la función seno. == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> [[|editar]] Definiciones analíticas == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La definición analítica más frecuente dentro del [|análisis real] se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes.) == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El [|teorema de Picard-Lindelöf] de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del [|número π], a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno. == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> [[|editar]] Series de potencias == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son [|funciones analíticas] cuya [|serie de Maclaurin] viene dada por: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Estas identidades son aveces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma. == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> [[|editar]] Relación con la exponencial compleja == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Existe una relación importante entre la [|exponenciación] de [|números complejos] y las funciones trigonométricas: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Esta relación puede probarse usando el desarrollo en [|serie de Taylor] para la [|función exponencial] y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> [[|editar]] A partir de ecuaciones diferenciales ==
 * ~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Función == ||~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Abreviatura == ||~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Equivalencias (en radianes) == ||
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**[|Seno]** == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">sin (sen) == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/f/5/9/f593d5ace474288ccd963b8ffbae5049.png caption=" \sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos  \theta}{\cot \theta} \,"]] == ||
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**[|Coseno]** == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">cos == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/c/3/4/c342c137d6afc3edc5d30e9074f79fa6.png caption="\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin  \theta}{\tan \theta} \,"]] == ||
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**[|Tangente]** == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">tan == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/0/0/e00256af7461be4f46eb00764cc80735.png caption="\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin  \theta}{\cos \theta} \,"]] == ||
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**[|Cotangente]** == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">ctg == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/6/1/e618214ad0d6bcad4cd82769e9d96523.png caption="\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos  \theta}{\sin \theta} \,"]] == ||
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**[|Secante]** == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">sec == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/2/6/6/2667cd123d61177f46ac47330e673b7f.png caption="\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan  \theta}{\sin \theta} \,"]] == ||
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">**[|Cosecante]** == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">csc (cosec) == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/8/6/d/86d11dd59e2189df88a9fa9dac9cef85.png caption="\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot  \theta}{\cos \theta} \,"]] == ||
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La [|hipotenusa] (//h//) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. ==
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El [|cateto opuesto] (//a//) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar. ==
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">El [|cateto adyacente] (//b//) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar. ==
 * ~  ||~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">0° == ||~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">30° == ||~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">45° == ||~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">60° == ||~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">90° == ||
 * ~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">sen == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">0 == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/3/d/c/3dcde285c447d48b6bc42bb636112d6c.png caption="\frac{1}{2}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/1/4/9/149d81a2903ae7ab06daeb3e2b43cf41.png caption="\frac{\sqrt{2}}{2}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/6/e/96e30496398fee824c48a72e24e554ab.png caption="\frac{\sqrt{3}}{2}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">1 == ||
 * ~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">cos == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">1 == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/6/e/96e30496398fee824c48a72e24e554ab.png caption="\frac{\sqrt{3}}{2}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/1/4/9/149d81a2903ae7ab06daeb3e2b43cf41.png caption="\frac{\sqrt{2}}{2}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/3/d/c/3dcde285c447d48b6bc42bb636112d6c.png caption="\frac{1}{2}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">0 == ||
 * ~ ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">tan == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">0 == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/2/a/d/2adc0aff144149dd3213c64d2671994e.png caption="\frac{\sqrt{3}}{3}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">1 == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/7/d/2/7d2db2b2c90be143cb85c105105317da.png caption="\sqrt{3}"]] == || ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png caption="\infty"]] == ||

<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:
> ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones //V//, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación, == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Dado que las funciones seno y coseno son linearmente independientes, juntas pueden formar la base de //V//. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen //y//′′ = −//y// implica que son [|funciones eigen] del operador de la segunda derivada. ==
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">la función seno es la única solución que satisface la condición inicial [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/8/1/b8113074effab17f21c42ee65ada9f69.png caption="\scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (1, 0)\,"]] y ==
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial [[image:http://upload.wikimedia.org/math/d/6/4/d641df5de915691b5a2dd7b9203e73e3.png caption="\scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (0, 1)\,"]]. ==

<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal
> ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">satisfaciendo la condición inicial //y//(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial. == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> [[|editar]] Funciones trigonométricas inversas ==

<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">La función arcoseno real es una función [[image:http://upload.wikimedia.org/math/a/6/b/a6b5d38afc9d1c6f6b71b521a8885d73.png caption="\left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right)\,"]], es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente [|serie de Taylor]: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/1/0/91044f2c891358a51149d28ce61fe1c9.png caption="\mbox{arcsin}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\ x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot  4}\cfrac{x^5}{5} + \cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1  < x < 1\\ +\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}"]] ==
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[|Arcoseno] es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. ==
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[|Arcocoseno] es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. ==

<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:
> ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> == ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es: == > ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;"> ==
 * ==<span style="background-color: #c0c0c0; color: #008080; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-size: 120%;">[|Arcotangente] es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. ==